且样本到超平面的几何间隔最大(分类确信度即,f(x)的最大值即为g(x)的正最大值澳门皇冠官网app

法定题解:

【概述】
SVM操练分类器的办法是摸索到超平面,使正负样本在超平面的两侧(分类正确性即“分得开”),且样本到超平面的几何间隔最大(分类确信度即“分得好”)。 
每种样本点xi的几何间隔至少是γ,须求γ首先是>0(分类正确),然后使劲求γ的最大值(分得好,要γ>1)。

f(x)=|a∗x3+b∗x2+c∗x+d|,
求最大值。令g(x)=a∗x3+b∗x2+c∗x+d,f(x)的最大值即为g(x)的正最大值,只怕是负最小值。a!=0时,

   
 其它γ值是由个别在margin上的点控制的(引出支持向量的定义,名字还挺形象的!那些向量“撑”起了分界线)。

g′(x)=3∗a∗x2+2∗b∗x+c
求出g′(x)的根(若存在,x1,x2,由导数的属性知零点处有极值。ans=max(f(xi)|L≤xi≤奥迪Q7).然后考虑五个端点的特殊性有ans=max(ans,f(L),f(宝马X5)).

注:SVM算法的特色是抢眼地运用了很多零碎的数学知识和技术,所以要消化学习怎么针对分类继续优化、追求分离平面唯一性的必要,怎么着协会约束最优化难题(通过组织目的函数,充裕利用已有些数学总结技巧)

当时 x =
-c/(2*b) 写成 x = -c/2*b 了,然后过pretest了。 然后。。你敢信?

7.1.2 函数间隔和几何间隔

“间隔”的意义和含义:一个点距离分离超平面的远近,可以用来表示分类预测的确信程度,有以下标准:在超平面w.x+b=0确定的状态下:|w.x+b|可以相对表示点x距离超平面的远近,而w.x+b的号子与类标志的标记是或不是一律(例如:点在正侧,w.xi+b大于0,而yi为1,yi大于0,分类正确;点在负侧,w.xi+b小于0,yi为-1,符号一致,分类正确;反之符号不雷同)。

代码:

1、函数间隔(又称函数距离)

随着引出函数间隔functional
margin的定义,用函数距离y(w.x+b)来代表分类的正确性(符号,大于0表示分类正确)和确信度(距离大小)

1)分类正确性:假使y(w.x+b)>0,则觉得分类正确,否则错误。

2)分类确信度:且y(w.x+b)的值越大,分类结果真的信度越大,反之亦然

概念超平面(w,b)关于陶冶集T的函数间隔为超平面(w,b)关于T中具备样本点(xi,yi)的函数间隔的蝇头值,γ^=min(i=1,…,N)下的γ^

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2、几何间隔(又称几何距离)

如上述函数间隔的定义,样本点(xi,yi)与超平面(w,b)之间的函数间隔定义为γ^=yi(w.xi+b)

但诸如此类拉动一个难点,w和b同时收缩或推广m倍,“那时超平面没有成形”,但函数间隔却变化了。所以需求将w的深浅固定下来,例如||w||=1,使得函数间隔固定–>那时得出几何间隔。

几何间隔的概念如下:ri=yi(w/||w||.xi+b/||w||)

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几何间隔

实际上,几何间隔就是点到超平面的偏离,点(xi,yi)到直线ax+by+c=0的距离公式是

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点到超平面距离

之所以在二维空间,几何间隔就是点到直线的偏离,在三维或上述空间中,几何间隔就是点到超平面的距离。而函数距离就是上述公式的成员,没有归一化。

注:对于yi这一个标签,若是在暌违超平面的负侧,yi=-1,运算时要小心

举例来说1:假诺练习集中的点A在超平面的负侧,即yi=-1,那么点与超平面的相距为:

ri=-(w/||w||.xi+b/||w||)

概念超平面(w,b)关于样本点(xi,yi)的几何间隔一般是实例点到超平面的“带符号”的离开(signed
distance),只有当样本点被超平面正确分类时,几何间隔才是“实例点到超平面的相距”。

注:以上描述的意思是,当不得法分类时得出r=yi(w/||w||.xi+b/||w||)小于0,例如yi=-1,wx+b大于0
或许 yi=1,wx+b小于0

为啥关心几何间隔?

因为几何间隔与范本的误分类次数存在关联(见《计算学习格局》第二章“感知机”的证实)

误分类次数≤(2途达/δ)^2,其中其中δ就是范本集合到分类超平面的距离

途达=max||xi||,i=1,…,n,即ENVISION是具有样本中(xi是以向量表示的第i个样本)向量长度最长的值(即表示样本的分布有多么广)。结论是“当样本已知的景况下”,误分类次数的上界由几何间隔决定。”

为什么要挑选几何间隔评价“解”(周到组)是还是不是最优的目的?

因为几何间隔越大的解,误差的上界越小。因而最大化几何间隔,就成为学习的对象。

注:必须反复强调的是,xi不是须要的变量,而是已知的样书,而必要的最重假设w、a、b这一个周全和算子*(在那里,不要将xi当成变量,xi代表样本,是已知的(训练集中的样书已知是怎样标签分类,是用来学习的))*


#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#define eps 1e-8
using namespace std;
#define N 50017

int sgn(double x)
{
    if(x > eps) return 1;
    if(x < -eps) return -1;
    return 0;
}

double a,b,c,d,L,R;

double calc(double x) { return fabs(a*x*x*x + b*x*x + c*x + d); }

int main()
{
    while(scanf("%lf%lf%lf%lf%lf%lf",&a,&b,&c,&d,&L,&R)!=EOF)
    {
        if(sgn(a) == 0)
        {
            if(sgn(b) == 0)
            {

                if(sgn(fabs(calc(L))-fabs(calc(R))) >= 0)
                    printf("%.2f\n",calc(L));
                else
                    printf("%.2f\n",calc(R));
            }
            else
            {
                double X = -c/(2.0*b);
                double k1 = calc(L);
                double k2 = calc(R);
                double k3;
                if(sgn(X-L) >= 0 && sgn(X-R) <= 0)
                    k3 = calc(X);
                else
                    k3 = 0.0;
                printf("%.2f\n",max(max(k1,k2),k3));
            }
            continue;
        }
        double delta = 4.0*b*b - 12.0*a*c;
        if(sgn(delta) <= 0)
        {
            if(sgn(fabs(calc(L))-fabs(calc(R))) >= 0)
                printf("%.2f\n",calc(L));
            else
                printf("%.2f\n",calc(R));
        }
        else
        {
            double X1 = (-2.0*b + sqrt(delta))/(6.0*a);
            double X2 = (-2.0*b - sqrt(delta))/(6.0*a);
            double k1 = calc(L);
            double k2 = calc(R);
            double k3,k4;
            if(sgn(X1-L) >= 0 && sgn(X1-R) <= 0)
                k3 = calc(X1);
            else
                k3 = 0.0;
            if(sgn(X2-L) >= 0 && sgn(X2-R) <= 0)
                k4 = calc(X2);
            else
                k4 = 0.0;
            printf("%.2f\n",max(max(max(k1,k2),k3),k4));
        }
    }
    return 0;
}

7.1.3 间隔最大化

View Code

1、最大间隔分离超平面(助记:找到γ,大概找到间隔最小的点,再求超平面使得γ的值最大)

SVM的着力想法是“除了争取开,更要分得好”,为此引出了“有约束”的“最优化难题”,式子如下:

argmax(w,b)    γ                  (7.9)  #最大化几何间隔γ**

s.t. yi(w/||w||.xi+b/||w||)大于等于γ, (7.10)
#超平面跟各种样本点的几何间隔至少是
γ**

这边包蕴的意义:

逐个样本点xi的几何间隔至少是γ,表明γ首先是>0(分类正确),然后用力求γ的最大值(分得好),此外γ值是由少数在margin分割线上的点控制的(引出接济向量的概念)。

设想到几何间隔和函数间隔的涉嫌(7.8)

γ=γ^/||w||    (7.8)

【得出】

argmax(w,b) γ^/||w||     
(7.11)
#盼望最大化超平面(w,b)对教练集T的间距**

s.t. yi(w.xi+b)≥γ^             
(7.12)
#需求(w,b)对各样训练样本点的距离至少是γ**

有以下几点设定:

1)最大化–>最小化:对凸函数来说,求最大值往往需求转接为求最小值,注意到“最大化1/||w||”和”最小化1/4||w||^2″是等价的

2)函数间隔γ^取“1”:函数间隔取值不影响最优化难题的解(例如将w和b按百分比改为λw和λb,那时函数间隔成为λγ^);函数间隔的那些改变对上述最优化难点的不等式约束尚未影响(大于等于的关系不变)。那样,就足以取γ^=1,将γ^=1代入上边的最优化难点

因而上述设定,所以得出以下“线性可分SVM的最优化难点”:

argmin(w,b) 1/2||w||^2       (7.13)    

s.t. yi(w.xi+b)-1≥0             (7.14)



算法7.1(线性可分SVM学习算法-最大间隔法)

输入:线性可分操练多少集T={(x1,y1),(x2,y2),…,(xN,yN)},其中xi∈χ=Kugan,yi∈Υ={-1,+1},i=1,2,…,N;

输出:最大间距分离超平面分类决策函数

1)构造并求解约束最优化难题

argmin 1/2||w||^2

s.t. yi(w.xi+b)-1≥0,i=1,2,…,N

求得最优解w*,b*。

2)由此得到最佳分离超平面:w*.x+b*=0

因此赢得分类决策函数:f(x)=sign(w*.x+b*)

 

2、支持向量和距离边界

引出“协理向量”概念:援救向量是教练多少汇总的样本点跟分离超平面距离近期的样本点的实例(support
vector)

那种点满意几何间隔=γ–>yi(w.xi+b)=γ,因为γ取值1,即

yi(w.xi+b)-1=0

1)对于yi=+1的正例点,支持向量在超平面H1:w.x+b=1

2)对于yi=-1的负例点,支持向量在超平面H2:w.x+b=-1

鉴于γ^取值1,所以七个超平面的几何距离依赖于超平面H0的法向量w,即几何距离是是2/||w||,详见图7.3(资助向量),H1和H2成为距离边界

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【主要】在决定分开超平面时,唯有援助向量起效能,而其余实例点不起成效。由于帮忙向量在规定分离超平面中起到决定性效率,所以将这种分类模型成为“辅助向量机”。

习题7.1
已知一个如图7.4的教练数据集,正例点是x1=(3,3)^T,x2=(4,3)^T,负例点是x3=(1,1)^T,试求最大间隔分离超平面H0.

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7.1.4 学习的双料算法

1、带约束的线性分类器难点如下

min 1/2||w||^2                                                    
 (7.13)

s.t. yi(w.xi+b)-1≥0                                              
 (7.14)

下边进行紧要的推理,带约束的最小值难题怎么通过拉格朗日的双料算法来解决。那如何是拉格朗日对偶性呢?简单的讲,就是经过拉格朗日函数将封锁规范融合到对象函数里去,从而只用一个函数表达式便能领略的抒发出大家的题材。

求解SVM基本型不太方便,于是乎求解其对偶难题,对偶难点是一个不等式约束难题,求不等式约束难点采取KKT条件,KKT条件中有一个准绳很风趣,就是
a*g(x)=0,要么拉格朗日乘子为0,要么g(x)=0,g(x)=0,表示样本是支撑向量,也等于唯有协助向量才使得g(x)=0,而a=0的样本就不要求了。

转车如下:

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(7.18)

求解策略:为了拿走对偶难点的解,先求L(w,b,a)对w、b的极小,再求对a的极大

1)求min(w,b)L(w,b,a)

将拉格朗日函数L(w,b,a)各自对w、b求偏导并令其等于0

▽wL(w,b,a) = w-Σaiyixi=0

▽bL(w,b,a) = – Σaiyi=0

得到

w=Σaiyixi                                                      
                               (7.19)

**Σaiyi=0                                                          
                               (7.20)

**

将(7.19)代入拉格朗日函数(7.18),即得

L(w,b,a)

=1/2 ||w||^2  –  **Σaiyi(w.xi+b)+Σai**

=1/2 ΣΣaiajyiyj(xi.xj)**
**

因为这时,L函数取最小值,所以得出

min(w,b)  L(w,b,a) = -1/2 **ΣΣaiajyiyj(xi.xj)  +
**
Σai**

**2)求min(w,b) L(w,b,a) 对
a的庞然大物,相当于对偶难点**

对偶难点  min(x)max(μ)L(x,μ)=max(μ)min(x)L(x,μ)=min(x)f(x)**

max(a) -1/2**ΣΣaiajyiyj(xi.xj)  +**Σai                      
                    (7.21)**

s.t.  **Σaiyi=0**

将式(7.21)的对象函数由求极大值转换为求最小值,就转向为上边与之等价的对仗最优化难题(将眼下的-号变成+号)

           max(a) -1/2**ΣΣaiajyiyj(xi.xj) 
+ **
Σai**

===>  min(a)  1/2**ΣΣaiajyiyj(xi.xj)  – 
**
Σai                                      
 (7.22)**

           s.t. Σaiyi=0                                            
                               (7.23)

**          ai ≥0,I=1,2,…,N                            
                                        (7.24)**

**透过上述处理,原始难题求w解转化为双双难题求a解,并引出内积
(7.22)–(7.24)**


本条标题中变量是w,目标函数是w的二次函数,所有的牢笼原则都是w的线性函数(再一次强调不要将xi看成是自变量,xi代表已知的样本),那种布置难题变成“二次规划”(Quadriatic
Progamming,QP);同时由于可行域是一个凸集,由此是一个“凸二次规划”。

定理7.2 设a*=
(a1*,a2*,…,ai*)^T,是对偶最优化难点(7.22)-(7.24)的解,则存在下标j,使得aj*>0,并可依据下列式子求得原始最优化难点(7.13)-(7.14)的解w*、b*

**w* =  **Σ**ai*yixi                  
                                                   
 (7.25)注:w*是解**

**b* =**Σyj
**Σai*yi(xi.xj)** 
                                                           (7.26)

从7.25和7.26可知,w*和b*只依靠于陶冶多少中对应于a*>0的样本点(xi,yi),而其他样本点对w*和b*未曾影响,所以称“训练多少中对应于ai*
> 0的实例点xi∈凯雷德”为支撑向量。

评释如下:

▽wL(w,b,a) = w-Σaiyixi=0

▽bL(w,b,a) = –Σaiyi=0

得到:

w* = **Σai*yixi**

里面至少有一个aj不为0(aj>0),对此j有yj(w*xj+b*)-1=0      
 (7.28)

将(7.25) **w*
**Σ**ai*yixi 代入 (7.28)得到 **

有yj(**Σai*yixi***xj+b*) =1**

=> **Σai*yjyixi*xj+yj.b*=yj^2
 (注:yj^2=1)**

=>(两边都除以yj) **yj=b*- **Σai*yixi*xj **

**=>b*= yj

**Σai*yi(xi*xj)**

经过定理可见,**

由于g(x)=<w.x>+b,代入**w*
=**Σ**ai*yixi 

此地唯有x才是变量,同时注意到架子中x和xi是向量,将不是向量的量从内积符号拿出去,获得g(x)
的架子为:

**g(x)=
Σ**aiyi**<xi,x>**+b**

透过分离超平面能够写成: **Σai*yi(xi*xj)

  • b* =0                        
     (7.29) **

分类决策函数可以写成: f(x)=sign[Σai*yi(xi*xj)+b*]            
(7.30) (对偶形式)

(7.29)和
(7.30)的意义:分类决策函数只依靠于输入x和练习样本输入的内积(xi.xj)也撰写<xi,xj>,式(7.30)称为线性可分扶助向量机的双料格局。

在意:上述变换中,看到式子中x才是变量,相当于您要分类哪篇文档,就把该文档的向量表示代入到
x的地点,而所有的xi统统都是已知的样书。还在意到架子中只有xi和x是向量,由此部分方可从内积符号中拿出来。

算法7.2(线性可分协理向量机学习算法)

输入:线性可分训练集T={(x1,y1),(x2,y2),…,(xN,yN)},其中xi∈χ=中华Vn,yi∈Υ={-1,+1},i=1,2,…,N;

输出:分离超平面和分类决策函数

1)构造并求解约束最优化难点

min 1/2 

Σ Σaiajyiyj(xi.xj) – Σai

            s.t. Σaiyi=0

            a ≥ 0,i=1,2,…,N

求得最优解a*=(a1,a2,…,an)^T

2)计算

w* = Σaiyixi

并选择a*的一个正分量aj*>0,计算

b*=yj-Σai*yi<xi,xj>   注:xi和xj的内积

3)求得分离超平面

w*x+b*=0

4)求得分类决策函数

f(x)=sign(w*.x+b*)

7.3 非线性匡助向量机与核函数

1)引入核函数(满意对称性和半正定型的函数是某高维希尔Bert空间的内积

一旦是满足了Mercer条件的函数,都可以当做核函数。倘诺有很多基的话维度势必会很高,总计内积的花销会很大,有些是无限维的,核函数能绕过高维的内积总结,直接用核函数到手内积。

核函数的基本想法:

1)通过一个非线性变换将输入空间(欧式空间昂科雷n或离散集合)对应于一个表征空间(希尔Bert空间),使得在输入空间中的超曲面模型对应于特征空间中的超平面模型(协理向量机)。

2)核函数必须知足对称性(K(x,y) = K(y,
x))及半正定性(K(x,y)>=0)。依据Mercer法则,大家精通其余满意对称性和半正定型的函数都以某个高维希尔Bert空间的内积。

核函数定义:设X是输入空间(欧式空间Tiguann或离散集合),又设H为特点空间(希尔Bert空间),如何存在一个从X到H的炫耀:

Ф(x): X –> H

使得对具备的x, z∈X,函数K(x, z)满意条件:

K(x,z) =Ф(x)·Ф(z)

那就是说就称K(x,
z)为核函数,Ф(x)为映射函数,式中Ф(x)·Ф(z)为Ф(x)和Ф(z)的内积。

注:引入核函数的因由是一向计算K(x,z)不难,而透过Ф(x)和Ф(z)计算K(x,z)有点不方便。

例题:

即使输入空间是中华V²,核函数是K(x,
z)=(x.z)²,试找出相关的特征空间H(HillBert空间)和映射Φ(x):Koleos²——>H。

解:取特征空间H=PAJERO^3,记x=(x1,x2)^T,z=(z1,z2)^T,由于

(x, z)²=(x1z1+x2z2)² = (x1z1)²+2 x1z1x2z2+ (x2z2)²

可以取映射

Φ(x) = [(x1)²,√2x1x2,(x2)²]^T

Φ(x).Φ(z) = (x1z1)²+2 x1z1x2z2+ (x2z2)²

在意:原空间卡宴²,而用核技巧后的空中是LX570^3,实际上是升维了

2)核技巧在支撑向量机中的应用:

对支撑向量机的双料问题中跟,不管目标函数依旧决策函数(分离超平面)都只涉嫌实例和实例之间的内积。所以在双双难题的对象函数 1/2 ΣΣaiajyiyj(xi.xj) 
-Σai
中的内积xi.xj 可以用核函数K(xi.xj) = Φ(xi).Φ(xj)
来代替。此时对偶难题的靶子函数成为

**W(a) = 1/2 ΣΣaiajyiyj K(xi.xj) -Σai中    
                                    (7.67)**

一如既往分类决策函数中的内积也足以用核函数来取代,而分类决策函数成为:

f(x) = sign [**ΣaiyiΦ(xi).Φ(x) + b*] =
sign
[**Σaiyi**K(xi.xj)**

  • b*]  
     (7.68)**

那样一来:原来输入空间中的高维度内积(升维是为了落到实处分离“超曲面”变成高维度空间的诀别“超平面”)xi.xj经过映射函数**Φ转换为特色空间(高维度空间,H空间)中的内积Φ(xi).Φ(xj),并在新的H空间中学习线性向量机**

附录A:最优化难题项目

万般大家需须求解的最优化难题有如下几类:

1、无束缚优化难点,能够写为:

min f(x);

对此类优化难点,经常使用的方法就是Fermat定理,就算用求取f(x)的导数,然后令其为零,可以求得候选最优值,再在那一个候选值中申明;假诺是凸函数,可以保险是最优解。

2、有等式约束的优化难题,能够写为:

min f(x),

s.t. h_i(x) = 0; i =1, …, n

对此类优化难点,常动用拉格朗日乘子法(Lagrange Multiplier)
,即把等式约束h_i(x)用一个周详与f(x)写为一个架子,称为拉格朗日函数,而周密称为拉格朗日乘子。通过拉格朗日函数对一一变量求导,令其为零,可以求得候选值集合,然后验证求得最优值。

3、有不等式约束的优化难题,可以写为:

min f(x),

s.t. g_i(x) <= 0; i =1, …, n

h_j(x) = 0; j =1, …, m

对第3类优化难题,常用KKT条件。

一致地,大家把具备的等式、不等式约束与f(x)写为一个姿态,也叫拉格朗日函数,周详也称拉格朗日乘子,通过一些标准,可以求出最优值的需求条件,那个规格称为KKT条件。

KKT条件是说最优值必须满足以下规则:

  1. L(a, b, x)对x求导为零;

  2. h(x) =0;

  3. a*g(x) = 0;

求取那多少个等式之后就能博取候选最优值。

个中第多少个姿态非凡有意思,因为g(x)<=0,如若要满意这一个等式,必须a=0或然g(x)=0.
那是SVM的洋洋主要性质的发源,如资助向量的概念。

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据悉拉格朗日格局,对应的拉格朗日函数为

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求函数z=f(x,y)在满足φ(x,y)=0的条件极值,可以转化求为函数F(x,y,λ)=f(x,y)+λφ(x,y)的白白极值问题。

附录B KKT对偶解释(为啥min max=max min=f(x)?)

http://blog.csdn.net/wusnake123/article/details/58635726 
拉格朗日数乘法

【KKT的概念】KKT条件是指在知足一些有规则的准绳下,
一个非线性规划(Nonlinear
Programming)问题能有最优化解法的一个需要和丰盛条件.
那是一个广义化拉格朗日乘数的成果.
一般地, 一个最优化数学模型的列标准形式参考开始的架势, 所谓
Karush-Kuhn-塔克 最优化条件,就是指上式的最亮点x∗必须满意上面的尺度:

1)约束规范满意gi(x∗)≤0,i=1,2,…,p, 以及,hj(x∗)=0,j=1,2,…,q

2).∇f(x∗)+∑i=1μi∇gi(x∗)+∑j=1λj∇hj(x∗)=0, 其中∇为梯度算子;

3)λj≠0且不等式约束规范知足μi≥0,μigi(x∗)=0,i=1,2,…,p。

KKT条件第一项是说最亮点x∗必须满意所有等式及不等式限制标准,
相当于说最可取必须是一个可行解, 那或多或少理所当然是不要置疑的. 

第二项声明在最可取x∗, ∇f必须是∇gi和∇hj的线性組合,
μi和λj都叫作拉格朗日乘子. 所区其余是不等式限制标准有方向性,
所以每种μi都不可以不高于或等于零,
而等式限制标准没有方向性,所以λj没有标记的限定,
其标志要视等式限制条件的写法而定.

以下举例介绍KTT 的来头

演绎思路:从上述多少个原则(凑出那些原则就能达成双双,形成KTT条件求最优解)

令L(x,μ)=f(x)+Σμkgk(x)  
#注:那里f(x)代表目标函数,g(x)代表约束函数

∵ μk≥0,gk(x)≤0 ====>  μkg(x)≤0

∴ max(μ)L(x,μ)=f(x)                         (公式2)

∴ min(x)f(x)=min(x)max(μ)L(x,μ)    (公式3)

代入

max(μ)min(x)L(x,μ)

=max(μ)[min(x)f(x)+min(x)μg(x)]

=max(μ)min(x)f(x)+max(μ)min(x)μg(x)

=min(x)f(x)+max(μ)min(x)μg(x)

?为何max(μ)min(x)f(x)=min(x)f(x)

又∵ μk≥0,gk(x)≤0

min(x)μg(x)有以下五个条件的取值

1)取值为“0”                          当μ=0 或 g(x)=0

2)取值为“-∞”(负无穷)    当μ>0 或g(x)<0   

为此当取值“0”的时候有最大值

==>

∴ max(μ)min(x)μg(x)=0,此时μ=0 或 g(x)=0.

∴ max(μ)min(x)L(x,μ)=min(x)f(x)+max(μ)minxμg(x)=minxf(x)    
(公式4)

联手(公式3)和(公式4)大家拿到min(x)max(μ)L(x,μ)=max(μ)min(x)L(x,μ),也等于

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min(x)max(μ)L(x,μ)=max(μ)min(x)L(x,μ)=min(x)f(x)

大家把maxμminxL(x,μ)称为原难题minxmaxμL(x,μ)的双双难题

上式讲明“当满意一定原则时”,原难点(prmial)的解、对偶难点(duality)的解、以及min(x)f(x)是平等的,且在最优解x*处,μ=0或g(x*)=0。

将x*代入(公式2)得到max(μ)L(x*,μ)=f(x*),由(公式4)得到max(μ)min(x)L(x*,μ)=f(x*),(对”max(μ)min(x)L(x\,μ)=max(μ)L(x*,μ)”)*两边消去max(μ),所以L(x*,μ)=min(x)L(x*,μ)(式子表示x*的时候,L(x,μ)得到最小值),表达x*也是L(x,μ)的极值点。

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【小结】

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KKT条件是拉格朗日乘子法的泛化(见附录B表明),即使大家将等式约束和不等式约束一并纳进来如下所示:

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注:由于下标x输入不便民,min(x)是指对x求最小值(常通过偏导操作完成)等同于

附录C:从||w||引出范数的定义

||w||是怎么着符号?||w||叫做向量w的范数,范数是对向量长度的一种度量。

大家常说的向量长度其实指的是它的L2范数,范数最相似的象征形式为p-范数,能够写成如下表明式

向量w=(w1, w2, w3,…… wn)

它的p级范数为

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附录E:python实现SVM实例(LIBSVM)

http://www.cnblogs.com/luyaoblog/p/6775342.html

http://www.cnblogs.com/harvey888/p/5852687.html

http://blog.csdn.net/zouxy09/article/details/17292011

数据文件CSV的链接

附录E:工程举办

总的看实验一、二,其结果注脚了Vapnik等人的定论,即不一样的核函数对SVM品质的震慑不大,反而核函数的参数和惩罚因子C是震慑SVM质量的关键因素,由此挑选适当的核函数参数和处置因子C对上学机器的属性非常紧要

附录F:数学符号表(用于输入公式)

2 3 ± × ÷ ∽ ≈ ≌ ≒ ≠ ≡ ≤ ≥ Σ ∈ ∞ ∝ ∩ ∪ ∫ √

б μ ? δ ε γ α β γ Ω Ψ Σ θ η λ π τ φ ω ψ ‰←↑→↓↖↗↘↙∴∵

∠∟∥∣∶∷⊥⊿⌒□△◇○?◎☆?①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩°‰?℃℉№

¹²³≈≡≠=≤≥<>≮≯∷±∓+-×÷/

∫∮∝∞∧∨∑∏∪∩∈∵∴⊥∥∠⌒⊙≌∽√ ▽

αβγδεζηθικλμνξοπρστυφχψω ΑΒΓΔΕΖΗΘΙΚΛΜΝΞΟΠΡΣΤΥΦΧΨΩ

§№☆★○●◎◇◆□℃‰■△▲※→←↑↓↖↗↘↙

〓¤°#&@\︿_ ̄―♂♀~Δ▽▽▽▽▽▽▽▽

㈠㈡㈢㈣㈤㈥㈦㈧㈨㈩①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩▽▽▽▽▽▽

∂²f/∂x²=2y²,∂²f/∂x∂y=4xy,∂²f/∂y²=2x²,∂²f/∂y∂x=4xy。∂求偏导符号

附录G

一般的话,求最小值难点就是一个优化难点(规划),由两局部组成:目的函数和束缚规范

min   f(x)                                        #目的函数

s.t. ci(x)≤0,i=1,2,…,p                   #注意这里是hi不等式约束

cj(x)=0,j=p+1,p+2,…,p+q      #在意这里是等式约束

#p个是不等式约束,q个是等式约束

#上式中的x是自变量,但不限于x的维度数(例如文本分类的维度数可能达成上万个维度)

#务求f(x)在某个点找到最小值,但不是在全方位空间中找寻,而是在约束的规则所界定的长空找,这些点儿的长空就是优化理论提到的“可行域”

#留神到可行域中的每一种点都是讲求满足p+q个原则,同时可行域边界上的点有一个美观的风味,就是足以使不等式约束。注意,那个特点后续求解起到关键成效,例如以下例子:

max(μ)min(x)L(x,μ)

=max(μ)[min(x)f(x)+min(x)μg(x)]

=max(μ)min(x)f(x)+max(μ)min(x)μg(x)

=min(x)f(x)+max(μ)min(x)μg(x)

又∵ μk≥0,gk(x)≤0            ∴min(x)μg(x)有以下多少个原则的取值

1)取值为“0”      当μ=0 或 g(x)=0;2)取值为“-∞”(负无穷)    当μ>0
或g(x)<0

从而当取值“0”的时候有最大值,由此此时μ=0 或 g(x)=0

依据定理7.2,分离超平面可以写成

**Σai*yi(xi.xj)+ b* = 0                                    
                                         
(7.29)**

**分类决策函数能够写成**

**f(x) =
sign(**Σai*yi**(7.29)**

注:这里为何是ai和aj,xi和xj,yi和yj?

2、重新审视线性分类器难题(原始难点求w解转化为双双难点求a解,并引出内积)

min 1/2||w||^2   #在意自变量是w

s.t. yi(w.xi+b)-1≥0

急需要w的解,凸二次设计难题的亮点是“不难找到解”,有全局最优解。

下来的显要思路是将“带不等式约束的难点”转化为“只带等式约束的题材–就能用拉氏算子轻松化解”(在那边,凸集边界的点就起到关键作用)

1)需须要得一个线性函数(n维空间中的线性函数),

g(x)=wx+b,

使得所有属王宛平类的点x+,代入后有g(x+)≥1

使得所有属于负类的点x-,代入之后有g(x)≤1

注:g(x).x-或g(x).x+都会超出1,类似yi(w.xi+b)

2)求解的经过就是“求解w的经过”,w是n维向量

3)可以看看,求出w之后,就能得出超平面H、H1和H2的解

4)w如何推导?w是由样本xi决定,这样w就足以象征为样本xi的某种组合

w=a1.x1+a2.x2+…+an.xn.

注:ai是实数值全面,又成为拉格朗日乘子;xi是样本点因此是向量,n就是总样本的个数

5)以下分别“数字和向量的乘积”以及“向量之间的乘积”,并用尖括号表示向量x1和x2的内积(也是点积,注意跟向量叉积的界别)

6)g(x)的表明式修改为:g(x)=+b(林轩田视频中,干脆就是,b为w0)

7)进一步优化表达式

w=a1.y1.x1+a2.y2.x2+…+an.y3.xn          (式1)

注:yi是第i个样本的竹签,yi=+1或yi=-1

8)  对求和号Σ举办简写:w=Σ(aiyixi)

9)由此原来的g(x)表明式可以写为:g(x)=+b=<Σ(aiyixi),x>+b

10)将上述公式的非向量提取出来,修改成以下式子:

g(x)=Σaiyi+b(式2)

11)至此,落成了将“求w”转化成“求a”的进度


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