澳门皇冠官网app当即本着这个问题啊是像懂非懂。这书和经典的三门问题十分像。

最初见到这个题目是初中的时段采购了一致随关于数学谜题的书写里概率论的同一摆设之课后进展就是说到三门题材,当时作一个恢弘阅读看了瞬间,里面说及了一个社会风气智慧高的贤内助秒杀了美国一大群的数学高材生的佳故事(比较夸张),当时本着是题材啊是像懂非懂。

一、题目

工程师 M 发明了千篇一律种游戏:M
将一个小球随机放入完全相同的老三个盒子中的某个一个,玩家选中装有球的盒子就获胜;开始时
M 会给玩家选择一个盒子(选择任何一个捷概率都为 1/3
);玩家做出取舍后,M 会打开没有让挑选的少数独盒子中之一个空盒,此时 M
会询问玩家是否改变选择(可以坚持首先赖选择,也堪选外一个没打开的盒子),下列叙述正确的生()。

A. 改选后,玩家力克的票房价值还是 1/3
B. 若不改动选择,玩家的赢概率是 1/2
C. 无论怎么挑,获胜的概率都是 1/2
D. 坚持原来的选料获胜概率又胜似
E. 选择外一个没有让辟的盒子获胜概率又强
F. 获胜概率在随机因素(如小球的实在位置)

咦是蒙提霍尔问题?

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蒙提霍尔

承提霍尔问题,亦曰蒙特霍题材或者三门题材(英文:Monty Hall
problem),是一个起源博弈论的数学游戏题材,大致出自美国底电视娱乐节目Let’s
Make a Deal。问题的名字来该节目之主席蒙提·霍尔(Monty Hall)。

早期的发表是:

参赛者会映入眼帘三鼓关闭了底派系,其中同样扇的后边来相同部汽车,选中后面有车的那扇门就可以博该汽车,而另外两扇门后面虽然各藏有同一特山羊。当参赛者选定了同样鼓门,但切莫失开它的时候,节目主持人打开剩下零星鼓门的里同样扇,露出里边同样只有山羊。主持人其后会见问参赛者要无设更换其它一样扇仍然关上的流派。
题材是:换其它一样鼓门会吧增加参赛者赢得汽车之机会率?

斯古老的题目如提出就引起了毒的争论,有人以为换与匪换最终获车的几率都是1/2,有人当换门之晚得及车的概率再甚,应该选换门之晚得及车的票房价值为2/3以撰文这篇稿子的当儿在果壳上还有人口于吗夫争吵,知乎上否起好多关于这地方的讨论,其实这些争议很多情况下还是坐这问题的歪曲表述所引起的,关键点在主持人于门后的情是不是了解

  1. 只要主席事先知道哪个门里有山羊并且他特地挑选了发生山羊的宗派打开了,那么参赛者应该换另一样鼓门,这得用他胜的几率从1/3起及2/3
  2. 如主席事先不知情哪个门里有山羊或者他只是随意的挑了一个流派,但实际发现内部恰好是山羊。这时候参赛者没有换门的必要,胜利概率总是1/2

为持续之议论,这里用维基百科直达于当下一个题材之不马虎的定义

严峻的发挥如下:

  • 参赛者在三鼓门遭到甄选一扇。他并不知道内里有什么。
  • 召集人知道各个扇门后面来啊。
  • 主持人要拉开剩下的中间同样鼓门,并且要提供换门的时。
  • 主持人永远都见面挑一样鼓有山羊的宗。
    • 倘若参赛者挑了一如既往鼓有山羊的派系,主持人要挑另一样鼓有山羊的门户。
    • 要是参赛者挑了同样扇有汽车之派,主持人随机以另外两扇门被挑一样鼓有山羊的门。
  • 参赛者会受咨询是不是保持他的原本选择,还是移而选择剩下的那么一道门。

这就是说是问题就足以老好的明亮了,引用维基的等同帧图片解析:

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承提霍尔解答

发生三种或的情状,全部且发出等的可能性(1/3):

  • 参赛者挑汽车,主持人挑个别匹羊的另外一样头。转换将破产。
  • 参赛者挑A羊,主持人挑B羊。转换将抱汽车。
  • 参赛者挑B羊,主持人挑A羊。转换将取得汽车。

于是玩家选择换门之后获胜的几率应为2/3

二、解题

同样开始看这写的下,本人果断的取舍了 A
,然后重新精心思量了一晃,不对啊,这题和经典的三门题材颇像,而且也使知道玩家首先软选择和是否改变选择的简单只事件非是相互独立的,因此答案不是此了,具体答案是呀吧?也欢迎读者留言写下好之理念。

再者说答案之前,先来打听一下经文的三门问题:

三门问题( Monty Hall problem
)亦曰蒙提霍尔题材、蒙特霍问题要么蒙提霍尔悖论,大致出自美国的电视机游戏节目
Let’s Make a Deal 。问题名字源于该节目的主持人蒙提·霍尔( Monty Hall
)。参赛者会映入眼帘三扇关闭了之宗派,其中同样鼓的背后有一致辆汽车,选中后面来车之那么扇门可落该汽车,另外两鼓门后虽然各藏有同只有山羊。当参赛者选定了扳平鼓门,但非失开它的时,节目主持人被剩下零星鼓门的内同样扇,露出里面同样单山羊。主持人其后会见问参赛者要无设转换其它一样鼓仍然关上的山头。问题是:换另一样鼓门会呢增加参赛者赢得汽车的机率?如果严格遵循上述的尺度,即主持人清楚地领略,哪扇门后是羊,那么答案是会见。不换门的话,赢得汽车的几乎带队是1/3。换门的话,赢得汽车的几乎带领是2/3。
这问题亦让称为蒙提霍尔悖论:虽然该问题的答案在逻辑上并无从相矛盾,但特别违直觉。这问题既惹阵阵痛的讨论。

证明?

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承提霍尔解答

定义:

  • 事件A也平起玩家选择的一致扇门
  • 事件H啊尾声门后的结果

  • 假若是选取不换门的方针

坐选择的是勿交换的策略,所有只生一致初始选中的是汽车,最后才会入选汽车。

  • 慎选交换门的策略

坐选择的凡换成的方针,所有只生同样起来选中的凡羊,最后才会当选汽车。

三门题材的解法:

三门问题共发三种植可能性:
(1)参赛者挑山羊一样哀号,主持人挑山羊二号。转换将抱汽车。
(2)参赛者挑山羊二号,主持人挑山羊一样哀号。转换将获得汽车。
(3)参赛者挑汽车,主持人挑羊一号。转换将砸和参赛者挑汽车,主持人挑羊二号。转换将失败,不见面获得汽车。

此间而专注了,第三种可能性的时段,概率还是 1/3 ,因为
1/31/2+1/31/2=1/3 ,所以地方的老三种可能性还是相当的,都是 1/3
。从达冲的老三种状态好观看,如果参赛者重新选择其他一样鼓门的话语,
得到汽车的几率就会成 2/3
,所以还选择会更加的福利。一开始这说都非会见让丁信服的,因为此时咱们尚以纠结的凡同样开始分配的票房价值是1/3,然后去除了一个从来不汽车的门后,两个选择,所以概率就是
1/2 ,还有同栽纠结就是无论我们怎么取舍,三种状态,每次挑的票房价值都是 1/3
啊,当然,第二种植选择非常容易就受推翻了,因为主持人明确的勾了一个请勿会见博得汽车之宗,因此概率不见面是
1/3
的。一开始自我呢于纠结这个,查了瞬间,就藏的说明就是是拿家的数额加,比如:

兹张在咱们面前的发生100扇门,只出中间同样鼓门后是汽车,而别的99扇门后都是山羊。好了,你选择其中一扇门。自然,你挑汽车之票房价值就出1/100。

下一场,知道汽车存放处的主席一口气打开了99鼓门遭到之98扇,其后面还是山羊。此时你得坚持最初的选项,也足以变更选择。你是否该改变选择?你是不是还看在您头选择的派系及另99扇门被唯一没有打开的那扇门背后发出汽车的票房价值是同之?

谜底是,如果你拒绝改变,你只有在同一开便摘了对的派系的场面下才会获得汽车,这个概率就来1%。在另外99%之气象下,你初选择的凡一个背后是山羊的派,而另外的98扇已经开辟,你这转初期的挑三拣四就好成功。所以,在99%之几率下,改变选择是正确的。

三门题材是一个理性选择与机会博弈问题,是关于非了信息博弈中如何正确理解概率的意义和几率变化的题材。可见此题材我们密切雕刻一下,还是得做出对的选项的。

明朗这还是匪克太给丁承受,因此写个 JAVA 程序来学一下夫景:

package com.liangdianshui;

import java.util.Random;

public class MontyHallProblem {

    public static void main(String[] args) {
        // 重复五次
        for (int i = 0; i < 4; i++) {
            montyHallProblem();
            System.out.println("----------------------------------");
        }
    }

    public static void montyHallProblem() {
        Random random = new Random(); // 这里不讨论Random为伪随机的问题
        int changeCount = 0;
        for (int i = 0; i < 1000000.0f; i++) { // 模拟一百万次
            // 假设有三个门
            int[] doors = new int[3];

            // 随机抽取一扇门 ,在门后放奖品
            int rIndex = random.nextInt(3);
            doors[rIndex] = 1;

            // 观众选的门号
            int randomSelect = random.nextInt(3);

            // 主持人从剩下的两扇门中排除一个
            while (true) {
                int randomDelete = random.nextInt(3);
                // 主持人不会打开参赛者已经选了的门(排除参赛者选择的门)
                if (randomDelete == randomSelect) {
                    continue;
                }
                // 主持人不会打开有奖品的门(排除有奖品的门)
                if (doors[randomDelete] == 1) {
                    continue;
                }

                for (int j = 0; j < 3; j++)// 换门
                {
                    if (j == randomSelect)// 不换门(因为我们要得到的是换门的概率,因此把不换门的排除掉)
                        continue;
                    // 排除主持人打开了那个门(因为门已经打开,所以不能换,排除掉)
                    if (j == randomDelete)
                        continue;
                    if (doors[j] == 1) {
                        changeCount++;// 换了门后中奖的次数
                        break;
                    }
                }
                break;
            }
        }
        System.out.println("换门中奖率:" + changeCount / 1000000.0f);
    }

}

最终运行的结果:

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三门题材JAVA运行结果

基于结果可见,这里更了季次于,每次都效仿了一百万坏的选项换门的状况,发现换门中奖的定义都是
0.66 左右,也便是 2/3 。

次验证

实践是检验真理的唯一标准,在流言终结者看到他俩人工再这实验区验证,发现这么充分浪费时间。何通过电脑去错过学这同一截过程也?
下用python程序来套这无异段落过程:

from __future__ import division
import logging
from matplotlib import pyplot as plt
import numpy as np
import random


class MontyHall(object):
    """docstring for MontyHall"""

    def __init__(self, num=3):
        """
        创建一个door列表
        0 代表关门
        1 表示后面有车
        -1 代表门被打开
        """
        super(MontyHall, self).__init__()
        self.doors = [0] * num
        self.doors[0] = 1
        self.choice = -1
        self.exclude_car = False
        self.shuffle()

    def shuffle(self):
        """  
        开始新游戏
        重新分配门后的东西
        """
        if self.exclude_car == True:
            self.doors[0] = 1
            self.exclude_car = False
        for i in xrange(len(self.doors)):
            if self.doors[i] == -1:
                self.doors[i] = 0
        random.shuffle(self.doors)

    def make_choice(self):
        """
        player随机选择一扇门
        """
        self.choice = random.randint(0, len(self.doors) - 1)
        logging.info("choice: %d" % self.choice)
        logging.info("original: %s" % self.doors)

    def exclude_doors(self):
        """
        主持人知道门后的情况排除门
        直到剩余两扇门
        """
        to_be_excluded = []
        for i in xrange(len(self.doors)):
            if self.doors[i] == 0 and self.choice != i:
                to_be_excluded.append(i)  
        random.shuffle(to_be_excluded)
        for i in xrange(len(self.doors) - 2):
            self.doors[to_be_excluded[i]] = -1
        logging.info("final: %s" % self.doors)

    def random_exclude_doors(self):
        """
        主持人并不知道门后面的情况随机的开门
        直到剩余两扇门
        """
        to_be_excluded = []
        for i in xrange(len(self.doors)):
            if self.doors[i] != -1 and i != self.choice:
                to_be_excluded.append(i)  
        random.shuffle(to_be_excluded)
        for i in xrange(len(self.doors) - 2):
            if self.doors[to_be_excluded[i]] == 1:
                self.exclude_car = True
            self.doors[to_be_excluded[i]] = -1
        logging.info("final: %s" % self.doors)

    def change_choice(self):
        """
        player改变选择
        """
        to_change = []
        for i in xrange(len(self.doors)):
            if self.doors[i] != -1 and i != self.choice:
                to_change.append(i)
        self.choice = random.choice(to_change)
        logging.info("choice changed: %d" % self.choice)

    def random_choice(self):
        """
        player 第二次随机选择门
        """
        to_select = []
        for i in xrange(len(self.doors)):
            if self.doors[i] != -1:
                to_select.append(i)
        self.choice = random.choice(to_select)
        logging.info("random choice : %d" % self.choice)


    def show_answer(self):
        """
        展示门后的情况
        """
        logging.info(self.doors)

    def check_result(self):
        """
        验证结果
        """
        got_it = False
        if self.doors[self.choice] == 1:
            got_it = True
        return got_it

总结

看得出我们是面试题和三门问题核心一致,所以最后摘的答案是E,也就是是拣外一个尚未给辟的盒子获胜概率又胜。因为自为未曾官方的答案,如果产生异议的话,可以展开留言。或者发摩擦的地方,也可开展留言指出,本人会第一时间进行改动。

依傍1000轮子,每一样轮再试验1000不好

  • 莫移选择:

def unchange_choice_test(n):
    """
    不改变初始的选择
    """
    result = {}
    game = MontyHall()
    for i in xrange(n):
        game.shuffle()
        game.make_choice()
        game.exclude_doors()
        if game.check_result():
            result["yes"] = result.get("yes", 0) + 1
        else:
            result["no"] = result.get("no", 0) + 1
    for key in result:
        print "%s: %d" % (key, result[key])
    return result["yes"] / n

if __name__ == '__main__':
    logging.basicConfig(format='%(levelname)s:%(message)s', level=logging.WARNING)
    results = []
    test_num = 1000
    round_num = 1000
    for x in xrange(0,round_num):
        results.append(change_random_test(test_num) )

    y_mean = np.mean(results)
    y_std = np.std(results)
    x = range(0,round_num)
    y = results
    plt.figure(figsize=(8,4))

    plt.xlabel("round")
    plt.ylabel("frequency")
    plt.title("The frequency of the success")
    tx = round_num / 2
    ty = y_mean
    label_var = "$\sigma \left( X \\right)=$%f" % y_std
    label_mean = "$ X =$%f" % y_mean
    p1_label = "%s and %s" % (label_var,label_mean)
    p1 = plt.plot(x,y,"-",label=p1_label,linewidth=2)
    plt.legend(loc='upper left')


    pl2 = plt.figure(2)
    plt.figure(2)
    plt.hist(results,40,normed=1,alpha=0.8)
    plt.show()

结果:

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此间输入图片的叙述

概率分布:

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此输入图片的叙说

成的概率都值当 1/3 附近

  • 改选择:

def change_choice_test(n):
    """
    交换选择的门
    """
    result = {}
    game = MontyHall()
    for i in xrange(n):
        game.shuffle()
        game.make_choice()
        game.exclude_doors()
        game.change_choice()
        if game.check_result():
            result["yes"] = result.get("yes", 0) + 1
        else:
            result["no"] = result.get("no", 0) + 1
    for key in result:
        print "%s: %d" % (key, result[key])
    return result["yes"] / n

平的方法绘图得到结果:

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此处输入图片的讲述

概率分布:

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此输入图片的叙述

成功之几率都值当 2/3 附近

通过上面的解析以及法可知最佳的政策当然就是换门。

进一步入木三分之座谈

  • 而家的数据持续是3个,如果是50扇门为?

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此间输入图片的叙说

这种状态下,主持人打开48扇都是羊之门后,再于您选择,很多人是时刻该就是无会见固守那1/2,而会选换门
将家的数增大到100,1000,这种状况会进一步强烈。
或经过同样截先后模拟说明:

def change_choice_test_large(n,m):
    """
    交换选择的门
    """
    result = {}
    game = MontyHall(m)
    for i in xrange(n):
        game.shuffle()
        game.make_choice()
        game.exclude_doors()
        game.change_choice()
        if game.check_result():
            result["yes"] = result.get("yes", 0) + 1
        else:
            result["no"] = result.get("no", 0) + 1
    for key in result:
        print "%s: %d" % (key, result[key])
    return result["yes"] / n


if __name__ == '__main__':
    logging.basicConfig(format='%(levelname)s:%(message)s', level=logging.WARNING)
    results = []
    test_num = 1000
    round_num = 1000
    for x in xrange(0,round_num):
        results.append(change_choice_test_large(test_num,50) )

结果:

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这会儿就要挑交换门

  • 遇到这种景象本身充分疑惑,我操委硬币决定,这个时刻成功之概率?

及时是第3栽政策,成功之概率和硬币有关,也便是1/2,这种情景就算是从剩下的门中随机选择一样扇,这个方针从者分析来拘禁无是最为好的,但是比不移之策略要好。
次的仿结果:

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这边输入图片的叙述

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此地输入图片的叙说

  • 本门意外打开的事态吗,也即是点描述的第二种植情形(主持在不知门后的状态下开拓门也)?

这种状态下实际就是是一个谱概率,事件A是玩家最后开及之是车,事件B是主持人打开的宗派是羊。

因只有主席开始及是羊之情况下,玩家才发生或开始至车所以

而玩家首先次选择的门为事件C

  • 无交换策略下的准概率是:

QQ截图20150510140602.png

  • 换成策略下的极概率是:

为此于主持人不晓门后的状况下打开一鼓,然后发现门后是羊之景况下,换门与不换门最终的票房价值都是1/2
还是得以经序进行效仿:

def unknown_doors_choice_test(n):
    """
    主持人并不知道门后面的情况随机的开门
    交换选择的门
    """
    result = {}
    game = MontyHall()
    continue_count = 0
    for i in xrange(n):
        game.shuffle()
        game.make_choice()
        game.random_exclude_doors()
        game.change_choice()
        if game.exclude_car == False:
            continue_count += 1
        if game.check_result():
            result["yes"] = result.get("yes", 0) + 1
        else:
            result["no"] = result.get("no", 0) + 1
    #for key in result:
    #    print "%s: %d" % (key, result[key])
    logging.info("continue_count: %d" % continue_count)
    if continue_count == 0:
        return 0.0
    return result["yes"] / continue_count   

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此处输入图片的描述

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此输入图片的叙述

于这种情形下交换门也没有升级成功的票房价值


总结

今天描绘的立即首东西吗好不容易了解自身小时候底一个不满,人的直觉有时候是挺不可靠,要脱身个人局限的咀嚼才能够抱抱更特别之社会风气。
咦?看罢这些分析,你还看无惬意那您还可由脚的参考中摸索更好之解析,本文撰写过程发生一对的图样引用自一下的参阅,如果您还时有发生疑问欢迎你关系自己更的讨论。

练习

脚是三门题材的片只翻版,引用自三门题材与相关:

女孩的几率

  • 您结交一各类新对象,问它是否来儿女。她说有,有点儿独。你问,有女孩也?她说生。那么,两单还是女孩的几率是聊?

报:三分之一。因为那个两独男女的可能有四种等或:BB、GG、BG、GB(即男男、女女、男女、女男)。
因为我们就解至少发生一个幼女,所以BB是免可能的。因此GG是唯恐出现的老三单相当可能的结果之一,所以个别独孩子还是姑娘的概率也三分之一。这对许了三门题材的率先种状态。

  • 公结交一个新对象,问它是不是出孩子。她说有,有个别个。你问,有女孩吧?她说发生。第二龙,你见她带来了一个有些女孩。你问问它,这是公姑娘为?她说,是。她底有数只儿女还是女孩的几率是小?

夫概率和酷女孩的概率一样,二分之一。这如同特别奇怪,因为我们所负有的信息看起并无较第一种情形时常差不多,但概率也差。但是这里的题材实际上是,那个而没有>见了的子女是女孩的概率是稍稍?这个概率和深女孩的票房价值一样,二分之一。
马上对承诺了三门题材的亚种植情况。当然这里也产生语言问题,必须要这员母亲不是一定带出一个粗女孩来受你看的。也就是说你偏偏是正发现了它是个有点女孩。这有赖于是判定选择
或q
随机选取。如果是于公正遇上见就是属于自由挑选。这便针对承诺了三门问题之次种植状况。这实质上是加了音讯之。否则一经它们积极带一个略女孩过来为您,则属判断选择。
乃取的答案依赖让所云的故事;它借助让您是怎么识破至少一个孩是女孩的。

其三囚问题

  • 亚当、比尔和查尔斯被拉在一个牢里,只有监狱看守知道哪位会让判定死缓,另外两各类将见面释放。有1/3之几率会于处死刑的亚当,给他母亲写了平等封闭信,想只要放的比尔或查尔斯帮忙代寄。当亚当问看守他应有将他的信教交给比尔要么查尔斯时,这号有着同情心的守护好尴尬。他认为使他将将获释的食指的讳告诉亚当,那么亚当就见面产生1/2的几率为判定死刑,因为剩下的人头跟亚当这简单人数饱受得生一个人口吃处死。如果他不说这消息,亚当被处决的概率是1/3。既然亚当知道其他两丁面临必将出一样总人口会释放,那么亚当自己被处决的几率怎么可能会见因守告诉他外两人遭为获释者的人名后如若反为?

科学的答案是:看守不用当心,因为尽管把自由人的真名告诉亚当,亚当给处死的票房价值仍是1/3,没有改。但是,剩下的那位没叫点名的丁便发出2/3底票房价值为杀(被处死的可能升高了)。如果这个题目易一栽说法,就是守卫无意间说有了查尔斯不会见很。那么几率就会出改变。
夫实际跟三门问题是千篇一律的。你得把狱卒当成主持人,被处决当成是大奖,那么是是针对应于三门题材的首先种植情景,就是主席知道门后面的状。狱卒说生谁会叫放,相当给主席打开一扇门。但是坐三囚徒问题无克选,也就一定给三门题材遭受的免换门的政策。最终之几率还是1/3凡没有发出变动的。
为了避免发出歧义,规定一下:
1.使(亚当,查尔斯)被放出,那么狱卒会报告亚当:”查尔斯给放飞”。
2.如果(亚当,比尔)被假释,那么狱卒会告知亚当:”比尔于保释”
3.比方(查尔斯,比尔)被放出,那么狱卒会以1/2之几率告诉亚当:”查尔斯于放飞”或者”比尔于放飞”
意思就是怪扎眼了,在看守说有比尔为放的原则下,亚当给放出的几率是?用标准概率算一下。
概念事件:

A :狱卒说有”比尔于释放”
B :代表亚当给假释。

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那么什么时才是1/2之几率也?
平整3更改为:如果(查尔斯,比尔)被放飞,那么狱卒会告诉亚当”比尔为释放”
这个时候计算就是:

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这就是说若规则3变更呢:如果(查尔斯,比尔)被放走,那么狱卒会报告亚当”查尔斯给放飞”
夫时候:亚当被释放的几率就会见成1
问题在规则2跟规则3下蛋说”比尔被放出”不是相当概率发生的。

看似的题目还有

  • 丢两朵硬币里有同等枚硬币是正面,问两朵硬币都是端正的概率是?
  • 摈弃两朵硬币里第一枚硬币是不俗,问两朵硬币都是正经的几率是?

the end.


参考:

  1. 承提霍尔问题 –
    维基百科,自由之百科全书

  2. 老三扇门问题 |
    左岸读书

  3. 承提霍尔问题(又如三门问题、山羊汽车问题)的正解是什么?

  4. 趣编程:三门问题

  5. 三门题材与连锁

  1. 转移还是免移?争议没有止过之三门问题

  2. 于「三门问题」中,参与者应该选「换」还是「不转换」?主持人是否清楚门后情形对结论有哪影响?

  3. THE MONTY HALL
    PROBLEM

  4. 流言终结者第九季

  5. 某个家庭吃来 2
    只小孩,已清楚其中一个是女孩,则其它一个凡是男孩的概率是微?-知乎

  6. 由贝叶斯定律的角度理解“蒙提霍尔题材”和“三独罪犯问题”

  7. 其三个囚徒问题,求解?


履新日志:

  • 2015-05-20 增加三幽闭徒问题的解答
  • 2015-05-09 第一不善作文

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