f(x)的顶充分价值就是为g(x)底刚刚无限要命价值。数值分析。

法定题解:

《数值分析》总结

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Qyetfu zhengdongjian@tju.edu.cn

f(x)=|a∗x3+b∗x2+c∗x+d|,
求最要命价值。令g(x)=a∗x3+b∗x2+c∗x+d,f(x)的无限老价值就是为g(x)的刚无限酷价值,或者是负最小值。a!=0时,

第一章 误差

  • 绝对误差 e∗=x∗−x
  • 相对误差 e∗r=e∗x
    ,常取 e∗r=e∗x∗
  • 误差限/绝对误差限 ϵ∗≥e∗
    ,绝对误差的上限
  • 相对误差限 ϵ∗r≥e∗r→e∗
    ,相对误差的上限
  • 误差的季只项目
    • 数学模型和骨子里问题之误差: 范误差
    • 测物理量(e.g. 长度,温度)时的误差: 考察误差
    • 算算方法的误差:截断误差
    • 计量结果当微机被以字长限制保存时出现的误差:舍入误差
  • 一个计量办法而输入数据发生误差,而在盘算过程被舍入误差不提高,则称此算法是数值稳定之。
    → 
    条件数

    • 误差的季则运算
  • 加减法:ϵ(x∗1±x∗2)=ϵ(x∗1)±ϵ(x∗2)

  • 乘法:ϵ(x∗1×x∗2)=|x∗1×ϵ(x∗2)+|x∗2|×ϵ(x∗1)
  • 除法:ϵ(x∗1x∗2)=|x∗1|×ϵ(x∗2)+|x∗2|×ϵ(x∗1)|x∗2|2

g′(x)=3∗a∗x2+2∗b∗x+c
求出g′(x)的清(若存在,x1,x2,由导数的习性知零点处发生极值。ans=max(f(xi)|L≤xi≤R).然后考虑少独端点的特殊性有ans=max(ans,f(L),f(R)).

第二章 插值法

  • [一般的]差不多项式插值:P(x)=a0+a1x+a2x2+⋯+anxn
  • 牛顿插值:N(x)=f(x0)+f[x0,x1](x−x0)+f[x0,x1,x2](x−x0)(x−x1)+…
  • 拉格朗日插值:L(x)=(x−x1)(x−x2)…(x0−x1)(x0−x2)…f(x0)+(x−x0)(x−x2)(x−x3)…(x1−x0)(x1−x2)(x1−x3)…f(x1)+…

    L(x)=∑i=1n(x−x0)(x−x1)…(x−xi−1)(x−xi+1)…(x−xn)(xi−x0)(xi−x1)…(xi−xi−1)(xi−xi+1)…(xi−xn)f(xi)

  • [牛顿插值法]备差表构造

xi yi 一阶均差 二阶~ 三阶
x0 y0
x1 y1 f[x0,x1]=y1−y0x1−x0
x2 y2 f[x1,x2]=y2−y1x2−x1 f[x0,x1,x2]=f[x1,x2]−f[x0,x1]x2−x0

当时 x =
-c/(2*b) 写成 x = -c/2*b 了,然后过pretest了。 然后。。你敢信?

其三章 函数逼近

  • 权函数

    ∫baρ(x)g(x)dx

  • 函数内积

    (f(x),g(x))=∫baρ(x)f(x)g(x)dx

    • 点滴套数内积为0,则称它们在[a,b]
      上带权ρ(x)
      正交
  • 正巧交函数族:函数族ϕ0(x),ϕ1(x),…
    满足
    (ϕj,ϕk)=∫baρ(x)ϕj(x)ϕk(x)dx=0(j≠k)|Ak>0(j=k)

  • 逼让德行多宗式

    P0(x)=1,Pn(x)=12nn!dndxn(x2−1)n

代码:

季段 数值积分方法

  • 代数精度:如果有求积公式对次数不超过m的大半项式均会可靠成立,但针对m+1次不规范成立,则称该颇具m次代数精度

  • 梯形公式:∫baf(x)dx=b−a2[f(a)+f(b)]

  • 矩形公式:∫baf(x)dx=b−a[f(a+b2)]
  • 牛顿-科斯特公式

    • n
      次的牛顿-科斯特公式至少有n
      次代数精度;
    • 当n
      为偶数时,则最少存有n+1
      次代数精度。
    • 二阶为辛普森公式,系数:b−a6→1→4→1
    • 四阶系数:b−a90→7→32→12→32→7
  • 辛普森公式:S=b−a6[f(a)+4f(a+b2)+f(b)]

    • 余项:R[f]=−b−a180(b−a2)4f(4)(η)
  • 复合求积公式(令h=b−a
    )

    • 复合梯形:Tn=h2[f(a)+2∑n−1k=1f(xk)+f(b)]
      ,误差为O(h2)
    • 复合辛普森:Sn=h6[f(a)+4∑n−1k=0f(xk+12)+2∑n−1k=1f(xk)+f(b)]
      ,误差阶O(h4)
  • 高斯求积公式

  • 高斯-勒被德行公式

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第五章 消元

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#define eps 1e-8
using namespace std;
#define N 50017

int sgn(double x)
{
    if(x > eps) return 1;
    if(x < -eps) return -1;
    return 0;
}

double a,b,c,d,L,R;

double calc(double x) { return fabs(a*x*x*x + b*x*x + c*x + d); }

int main()
{
    while(scanf("%lf%lf%lf%lf%lf%lf",&a,&b,&c,&d,&L,&R)!=EOF)
    {
        if(sgn(a) == 0)
        {
            if(sgn(b) == 0)
            {

                if(sgn(fabs(calc(L))-fabs(calc(R))) >= 0)
                    printf("%.2f\n",calc(L));
                else
                    printf("%.2f\n",calc(R));
            }
            else
            {
                double X = -c/(2.0*b);
                double k1 = calc(L);
                double k2 = calc(R);
                double k3;
                if(sgn(X-L) >= 0 && sgn(X-R) <= 0)
                    k3 = calc(X);
                else
                    k3 = 0.0;
                printf("%.2f\n",max(max(k1,k2),k3));
            }
            continue;
        }
        double delta = 4.0*b*b - 12.0*a*c;
        if(sgn(delta) <= 0)
        {
            if(sgn(fabs(calc(L))-fabs(calc(R))) >= 0)
                printf("%.2f\n",calc(L));
            else
                printf("%.2f\n",calc(R));
        }
        else
        {
            double X1 = (-2.0*b + sqrt(delta))/(6.0*a);
            double X2 = (-2.0*b - sqrt(delta))/(6.0*a);
            double k1 = calc(L);
            double k2 = calc(R);
            double k3,k4;
            if(sgn(X1-L) >= 0 && sgn(X1-R) <= 0)
                k3 = calc(X1);
            else
                k3 = 0.0;
            if(sgn(X2-L) >= 0 && sgn(X2-R) <= 0)
                k4 = calc(X2);
            else
                k4 = 0.0;
            printf("%.2f\n",max(max(max(k1,k2),k3),k4));
        }
    }
    return 0;
}

第六章 迭代法

  • A=D−L−U


    • 为原系数矩阵

    • 也 A 
      的对角线元素构成的矩阵(diagonal?)

    • 为 A 
      的下三角矩阵(lower?)

    • 为 A 
      的直达三角矩阵(upper?)
  • 雅克比迭代,迭代矩阵 B=D−1(L+U)

  • 高斯-赛德尔迭代,迭代矩阵 G=(D−L)−1U
  • 迭代消灭充要条件: 迭代矩阵谱半径 ρ(B)<1
  • 迭代没有充分规范: 迭代矩的之一范数 ||B||<1

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第七回 非线性方程的数值解法

  • 匪动点有且唯一的规格
    • C[a,b]→a≤φ(x)≤b
    • ∃L<1,|φ(x)−φ(y)|≤L|x−y|
  • 局部收敛:φ(x)
    在x∗
    的某邻连续,并且|φ′(x∗)|<1
  • 若xk+1xpk→C,C≠0
    ,则称迭代过程是p
    阶收敛的。

    • p=1 
      称为线性收敛
    • p>1 
      曰超线性收敛
    • p=2 
      称为平方收敛
    • 要是φ′(x∗)=φ′′(x∗)=⋯=φ(n−1)(x∗)=0,φ(n)(x∗)≠0
      ,则该迭代过程在x∗
      邻是p
      阶收敛的
    • 迭代法误差估计:若发生免动点x∗
      ,则误差估计也|xk−x∗|≤Lk1−L|x1−x0|
  • 二分法

    • 当呼吁来有根区间也(a,b)
      时,误差为|b−a|2
  • 牛顿法
    • φ(x)=x−f(x)f′(x)
      , 是平方收敛
    • 简化牛顿法:φ(x)=x−f(x)f′(x0)
      ,线性收敛。
    • 牛顿生山法:φ(x)=x−λf(xk)f′(xk)
      ,λ
      称为下山因子,初始取λ=1
      ,逐次减半直到满足|f(xk+1)|<|f(xk)|
  • 弦截法
    • φ(x)=x−f(x)f(xk)−f(xk−1)xk−xk−1
      ,用差商代替牛顿法中的导数。超线性收敛(p=1+5√2≈1.618
      )

 

第九章 常微分方程处置问题数值解法

  • 欧拉法:yn+1=yn+h∗f(xn,yn)
  • 精益求精欧拉法
    • 预测:y′n+1=yn+h∗f(xn,yn)
    • 校正:yn+1=yn+h2∗[f(xn,yn)+f(xn+1,y′n+1)]
  • R-K法

    • 二阶中点:yn+1=yn+h∗(f(xn,yn)+f(xn+h2,yn+h2f(xn,yn))
    • 二阶休恩:yn+1=yn+h4(K1+3K2)

      • K1=f(xn,yn)
      • K2=f(xn+23h,yn+23hK1)

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